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秘密 ★ 考试结束前 四川省2015年“联测促改”活动第一轮测试 数(理工类)试题参考答案及评分标准 评分说明: 1.本解答指出了每题要考查的主要知识和能力,并给出了一种或几种解法供参考, 如果考生的解法与本解答不同,可根据试题的主要考查内容比照评分参考制定相应的评 分细则。 2.对计算题,当考生的解答在某一步出现错误时,如果后继部分的解答未改变 该题的内容和难度,可视影响的程度决定后继部分的给分,但不得超过该部分正确解答 应得分数的一半;如果后继部分的解答有较严重的错误,就不再给分。 3.解答右端所注分数,表示考生正确做到这一步应得的累加分数。 4.只给整数分。选择题和填空题不给中间分。 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分.在每小题给出的四个选项中,只有 一个是符合题目要求的. 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分. 三、解答题:本大题共6小题,共75分. 解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 16.(Ⅰ) 由题意,向上的点数为,出现的频率分别为: .…………………1分 设表示事件“向上的点数是”(),则 .………………2分 设表示事件“向上的点数之和超过3”, 则表示事件“向上的点数之和小于或等于3”. 掷一个骰子的结果有6种,因此,连续掷两次骰子的结果共有36种.……………4分 在这36种结果中,向上的点数之和小于等于3的结果有3种,即. 因为,……………………………6分 所以.……………………………………………7分 设抛掷这枚质地不均匀的骰子出现向上的点数为,则由(Ⅰ)得的概率分布列为 ||1 |2 |3 |4 |5 |6 | ||0.09 |0.19 |0.19 |0.22|0.19 |0.12[| | | | | | | |来源:| | | | | | | ||| | | | | | | ||] | | | …………………………………………1分 所以,向上的点数的均值是 .…………2分 设抛掷一枚质地均匀的骰子出现向上的点数为,则的概率分布列为 | |1 |2 |3 |4 |5 |6 | | | | | | |[p| | | | | | | |ic] | | …………………………………3分 所以,向上的点数的均值是 .……………………………………………… 4分 因为,所以“”的可能性更大.…………………………………5分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知, 所以.……………………………………………………1分 由已知,, 则,从而. 因此.……………………………………………………………2分 由可得 由于≤,因此. 所以,…………………………………………………………………3分[来源:.Com] 该式两边平方,解得.………………………………………………………4分 又,所以≤, 从而.……………………………………………………7分 故.……………………………………………………8分 (Ⅱ) 在RDC中, DC=D=2,所以. 由(Ⅰ)可知,在R△BCM中,BC = AD =,所以BM=2. 在R△ADM中,AD=,,所以AM=2. 因为AB=DC=2,所以△ABM为等边三角形.………………2分 取AM中点E,连接BE,则BEAM. 由(Ⅰ)知,M是线段C的中点,所以CDM. 因为AD平面DC,所以ADC, 因此C平面ADM,从而CAM. 过E作EF//M交A于F,所以EFAM. 连接BF,则BEF就是二面角-AM-B的平面角.…………………………………4分 因为E是AM的中点,EF//M,所以F是A的中点. 因为D底面ABCD,所以DAB. 又在矩形ABCD中,ABAD, 所以AB平面AD,所以ABA.…………………………………………………5分 在R△AD中,因为AD=,D=2,所以A=,所以AF=. 在R△AB中,因为AB=2,所以BF=. 又因为,BE=, 在BEF中,运用余弦定理得,, 所以二面角-AM-B的余弦值是.…………………………………………………6分 解法二: (Ⅰ) 因为ABCD为矩形,所以ADCD. 因为D底面ABCD,所以DAD,DCD, 如图,以D为坐标原点,分别为轴,y轴,轴的正方向,建立空间直角坐标系D- y.……………………2分 由已知有A(,0,0),B(,2,0), C(0,2,0),(0,0,2), 则.……………………2分 因为点M是线段C的中点,所以M (0,1,1), 因此. 因为所以,.………………………………………4分 因为C,BC是平面CB内的两条相交直线,所以DM平面CB.………………6分 (Ⅱ) 由(Ⅰ)知,. 设平面AM的一个法向量为, ……………………………1分[来源:&&&&&] 所以即 取,则. …………………………………………3分 设平面ABM的一个法向量为,[来源:||.Com] 所以即 取,则.…………………………………………………………5分 所以. 因此二面角-AM-B的余弦值是.………………………………………………6分 19.(Ⅰ) 设等差数列的公差为d, 则前n项和为, 由题知 ……………………………………………………………2分 解得, 所以. …………………………………………………………………………3分 因为,所以. 两式相减得. …………………………………………………4分 又由已知式有且,求得,[来源:] 即当n=1时,也成立, 所以 ,于是.……………………………………6分 20.(Ⅰ)由已知,, 则,且有 .……………………………………………………2分 又,, 根据题意,曲线在处切线方程为……3分 又 ,, 解得:,. 即 a,b的值分别为,.…………………………………………………5分 (Ⅱ)欲使是增函数,则在时恒成立,即≥0在时恒成立. 设(≥0),则 . ……………………………………2分 ① 若,有当 >0时,,则 ()是增函数, 所以当=0时,函数取得最小值. 符合条件的a , b满足:,即.……………………………………4分 ② 若, 当时,有,则 在 是减函数, 当时,有,则 在 是增函数,………………………6分 因此,当时,函数取得极小值, 故符合条件的a,b满足:≥0. 化简,得 .…………………………………………………………7分 综上所述,当或时,在定义域内是增函数.……8分 21.(Ⅰ)由已知,曲线E是以M,N为焦点,长轴长为2a=4的椭圆. 所以该椭圆的焦距为,短半轴长为. 故曲线E的方程为.………………………………………………………2分 (Ⅱ)设点P的坐标为,则[来源:||] ,且. 所以 , 因此. ①………………………………………………2分 由已知,,,成等差数列,有 2, ………………………………………………………3分 所以, . ②…………………………………………………4分 由①②可知,的取值范围是.…………………………………5分 (Ⅲ)设A,B,C,D的横坐标分别为A,B,C,D. 当时,由题知,故.…………………………………………1分 联立与, 可得. ……………………………………………2分 因为直线l与⊙O1交于A、B两点,故 ,[来源:**.Com] 且. 联立与,可得. ……………4分[来源:**] 因为直线l与曲线E交于C,D两点,故 , ③……………………………………5分 且. 由,可知C - A= B - D,即A+B=C+D,则有 , 变形得.………………………………………………………………………6分[来源:] 代入③,可得,化简得,显然不成立. 所以,不存在直线l,使得成立. …………………………………………7分